Lors de cette rencontre, dont les premières images ont été diffusées à la télévision russe, M. Choïgou a prôné un "dialogue plus actif" avec les Etats-Unis.
"Aujourd'hui, il y a un grand nombre de problèmes dans le monde que nous pourrions régler grâce à nos efforts communs", a estimé Sergueï Choïgou, cité par l'agence de presse publique Ria Novosti.
"Cela concerne les questions stratégiques liées à la dissuasion nucléaire comme celles liées au règlement d'importants conflits qui durent depuis longtemps", a-t-il précisé.
Après la rencontre entre les présidents russe et américain, Vladimir Poutine et Donald Trump, le 16 juillet à Helsinki, "on peut constater qu'un dialogue bilatéral est en train d'être progressivement rétabli", s'est félicité M. Choïgou.
"Je suis convaincu que même de petits pas feront du bien à nos relations et à la reconstruction de la confiance" mutuelle, a-t-il affirmé, alors que les relations entre Moscou et Washington sont au plus bas.
Pour sa part, M. Bolton a indiqué qu'il était à Moscou avec comme "tâche" d'"approfondir et de renforcer le dialogue" avec la Russie, selon ses propos traduits en russe.
La visite de M. Bolton à Moscou intervient alors que Donald Trump a annoncé samedi sa décision de retirer son pays du traité sur les armes nucléaires de portée intermédiaire INF (Intermediate Nuclear Forces Treaty), conclu avec l'URSS pendant la Guerre froide.
John Bolton a déjà discuté du sort de ce traité lundi avec le chef de la diplomatie russe Sergueï Lavrov et a aussi passé "près de cinq heures" avec Nikolaï Patrouchev, le secrétaire du Conseil russe de Sécurité nationale.
Les responsables russes ont insisté sur le fait que Moscou ne violait pas le traité, a expliqué M. Bolton après la rencontre.
John Bolton doit s'entretenir mardi avec le président russe Vladimir Poutine, selon le porte-parole du Kremlin Dmitri Peskov.
Le conseiller de la Maison Blanche à la Sécurité nationale fera ensuite le bilan de sa visite en Russie, lors d'une conférence de presse prévue à 17H00 GMT.
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